Historia del Logaritmo y del Nº e



Es curioso saber que los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) independientemente. Napier, cuyo trabajo fue más importante, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa de las funciones exponenciales.

La tablas de Napier, publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China.
Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio, lo resto importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica.

El número e llega por primera vez a las matemáticas de forma muy discreta. Sucedió en 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, no se reconoció que estos fueran logaritmos en base e, ya que la base sobre la que se calculan los logaritmos no surgió en la manera en la que se pensaba en los logaritmos en aquel entonces. Aunque hoy consideramos a los logaritmos como los exponentes a los que se debe elevar una base para obtener el número deseado, esta es una forma moderna de pensar.

En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo base diez de e sin mencionar a eespecíficamente en su trabajo.
La siguiente posible aparición de e es de nuevo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Si reconoció o no la conexión con los logaritmos es debatible y, aún si lo hubiera hecho, no había realmente razón para que se encontrara explícitamente con el número e. Sin lugar a dudas, hacia 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo. Por supuesto, el número e es tal que el área bajo la hipérbola rectangular entre 1 y e es igual a 1. Ésta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales pero los matemáticos de la época no lo entendían, aunque se estaban acercando lentamente a ello.

Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva a la que llamó "logarítmica" pero no en los términos en los que nosotros nos referimos a una curva exponencial, con la forma y = kax . Nuevamente, a partir de esto sale el logaritmo base 10 de e, que Huygens calculó a 17 decimales.

En 1668, Nicolás Mercator publicó Logarithmotechnia que contiene la expansión en serie de log (1+ x ). En este trabajo, Mercator usa el término "logaritmo natural" por primera vez para los logaritmos en base e.

En 1683, Jacobo Bernoulli examinó el problema del interés compuesto y, durante su análisis del interés compuesto continuamente, trató de encontrar el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito.

Hasta donde sabemos, la primera vez que el número e aparece explícitamente es en 1690. En ese año, Leibniz le escribió una carta a Huygens en la que usa la notación b para lo que nosotros hoy llamamos e. Por fin el número e tenía nombre (aunque no sea el actual) y era reconocido.

e = 2.718281828459045235
Es tanta la notación matemática actual que le debemos a Euler que no sorprende descubrir que la notacióne para este número se la debemos a él. La afirmación que se ha hecho algunas veces de que Euler usó la letra e porque era la primera letra de su nombre es ridícula. Es probable que e ni siquiera venga de "exponencial" sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo. Sea cual fuera la razón, la notación e aparece por primera vez en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731.






La función ex



Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n)n cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos.


Ejemplos de utilización



En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

El interés continuo
El capital obtenido de la inversión de un capital inicial C0 a un interés compuesto r en n periodos anuales sigue la fórmula:
C = C0(1+r/n)nt, siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión
Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:
C = C0·ert

Desintegración radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si R0 es la cantidad inicial de sustancia y k la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t será:
R =R0·e-kt

Crecimiento demográfico
Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: P = P0·eit



JUAN LIAÑO Y OMAR QUINTANA

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e
http://www.astroseti.org/vernew.php?codigo=2126
http://www.hiru.com/matematika/matematika_03500.html